Fleur-de-brume et les deux infinis

La réputation de sagesse et d'intelligence de la Princesse Fleur-de-brume gagna les royaumes voisins tant et si bien que les rois des alentours faisaient appel à elle pour rationaliser le tracé des routes, la construction des ponts, le creusement d'un canal et même se débarasser des dragons trop savants.
Elle ne se faisait pas payer, trop heureuse d'en profiter astucieusement pour leur faire modifier leur manière absurde de prélever les impots, qui consistaient chez la plupart à demander la même somme d'argent à chaque sujet, somme que les 9/10e de leurs sujets ne pouvait trouver tandis qu'elle faisait rire la fraction riche de leur population.

Le roi Aldéric du Ponant était si content de ses conseils qu'il lui proposa ce qu'elle voulait en remerciement de ses services. La princesse se rappela que l'esclavage était le lot commun en ce royaume et décida d'accepter cette fois la proposition de rétribution.
- Je voudrais que vous libériez quelques esclaves, dit-elle.
- Oh, bien sûr, combien en voulez-vous ?
- Je ne les veux pas pour moi, juste que vous les libériez. Est-ce que la somme 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... ne vous parait pas abuser de votre royale générosité ?

Le roi Aldéric n'était pas stupide, il se garda de répondre oui tout de suite, et fit venir ses comptables pour compter. La princesse Fleur-de-brume les regarda faire avec un petit sourire, ainsi qu'Aldéric qui au bout d'une heure vit les nombres ajoutés se réduire à presque rien et la somme totale augmenter plus lentement que l'affaissement des montagnes.
Rassuré, et lassé du spectacle, il accorda sa requête à la princesse et l'invita à profiter du soleil dans son jardin, un des plus beaux de la région. Prudente, la princesse lui fit mettre par écrit leur accord, avant d'accepter la promenade.
- Combien cela fera-t-il d'esclaves en tout ? 5 ? 10 ? demanda Aldéric en marchant entre les haies de roses et d'aubépines.
- Plus que cela, répondit la Princesse distraitement, remplissant ses poumons de l'odeur de chèvrefeuille.
- 50 ? 100 ?
- Plus que tous les nombres que vous pourriez citer, Votre Altesse, affirma la Princesse avec un sourire triomphant.
- Comment cela est-il possible en ajoutant des nombres qui deviennent infiniment petits ? s'étonna Aldéric.
- C'est surprenant, n'est-ce pas. C'est comme si vous aviez un gros rocher, puis vous faites un tas en ajoutant des rochers de plus en petits, jusqu'à ce qu'ils deviennent des grains de sable, puis plus petits que des grains de sable, et cependant au bout d'un certain temps votre tas dépasse en taille et en hauteur toutes les montagnes.
- Cela, vous ne me le ferez pas accroire ! s'exclama le Roi.
- Cela met en déroute le bon sens et l'intuition du cerveau humain, aussi je ne suis pas sûr de pouvoir vous le faire comprendre mais je puis espérer vous en convaincre si vous m'écoutez attentivement.
- Un si joli professeur capte mon attention chaque fois qu'elle ouvre la bouche, minauda le Roi, qui se lassait déjà de sa 72e favorite.
- On va regrouper en petits tas les termes de l'addition, de sorte que chacun des tas dépasse 1/2, et ainsi si on veut dépasser 50 il suffira de considérer 100 tas, etc
Le 1er terme 1, est un tas à lui tout seul.
Le second tas est constitué de 2 termes 1/2 + 1/3
Le troisième tas des 4 termes suivants 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7
On regroupe ensuite les 8 termes qui suivent 1/8 + ... + 1/15, puis les 16 qui viennent après 1/16 + ... + 1/31
ainsi par exemple
1 + (1/2 + 1/3) + (1/4 + ... + 1/7) + (1/8 + ... + 1/15) + (1/16 + ... + 1/31) + (1/32 + ... + 1/63) + (1/64 + ... + 1/127) + (1/128 + ... + 1/255) est forcément déjà plus grand que 4 car composé de 8 tas tous plus grands que 1/2.
- Qu'est-ce qui vous rend si certaine que vos tas sont tous plus grands que 1/2 ? demanda dubitativement le Roi.
- Un petit calcul abstrait qui me permet de m'en assurer pour tous à la fois : supposant qu'on commence à 1/n et qu'on fasse la somme des n termes successifs en commençant à 1/n, le n-ième terme, puisqu'on commence à 1/n= 1/ (n+0), est 1/(n+n-1)= 1/ (2n-1). C'est également le plus petit des n termes de la somme partielle (le tas). Donc la somme du tas est plus grande que n fois le plus petit terme, c'est à dire plus grande que n/(2n-1) qui lui-même est plus grand que 1/2 car le double : 2n/(2n-1) est visiblement plus grand que 1.
Le Roi, qui avait reçu une instruction solide, même en mathématiques, prit une brindille et vérifia les affirmations de la princesse sur le sol du sentier. Il se releva en soupirant.
- Ainsi avec des grains de sable de plus en plus petits on batit une montagne qui dépasse les étoiles les plus éloignées, c'est incroyable mais je dois avouer que c'est vrai.
- Je suis heureuse d'avoir pu vous en convaincre.
- est-ce toujours ainsi, chaque fois qu'on fait une infinité d'additions ?
- même pas, non. La somme infinie (des inverses des carrés) 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... se rapproche infiniment près du nombre pi²/6 sans jamais l'atteindre et encore moins le dépasser.
- Tout cela me dépasse, justement, dit avec un gros rire le Roi, vous m'expliquerez cela une autre fois car ma tête va exploser si vous y rajoutez un chiffre de plus.
- Vos désirs sont des ordres, Votre Altesse, s'inclina Fleur-de-Brume.
- Hmm, en parlant d'ordres, je suppose qu'il va me falloir ordonner la libération de tous les esclaves de mon Royaume ?
- J'en ai bien peur, mon cher ami.