solutions des jeux

La bonne question à se poser, ce n'est pas "j'ai créé combien de régions avec mes 50 droites ?", because c'est trop dur, mais "combien de régions en plus apporte chaque nouvelle droite ?", vu que c'est presque facile.
Au départ il y a 1 région, ma feuille de papier.
En traçant la 1ere droite, je fais apparaitre 1 région de plus.
En traçant la 2e droite, j'en fais apparaitre 2 de plus.
En traçant la 3e droite, j'en fais apparaitre 3 de plus. (total 7= 1+1+2+3)

A ce moment-là même le lecteur le plus obtu commence à deviner qu'en traçant la n-ième droite j'en ai fait apparaitre n de plus qu'avant, de régions.
Mais est-ce bien vrai ?
Oui parce que par principe préalable j'ai décidé que chaque nouvelle droite coupait toutes les autres en des points nouveaux. Donc ma n-ième droite coupe les (n-1) premières en (n-1) points :

Chacun des n morceaux de la n-ième droite (la rouge) traverse une région préexistante et la coupe en deux régions. Et fait bien apparaitre n régions de plus qu'avant.

Finalement le nombre de régions obtenues avec 50 droites est le suivant

1+1+2+3+4+ ... + 50

Bien sûr je peux calculer à la main ou avec la calculette, mais je peux aussi m'inspirer de l'idée d'un enfant qui allait devenir le prince des mathématiciens.
Dans la version la plus amusante et la moins vraisemblable de la légende, il était une fois un petit garçon appelé Carl Friedrich Gauss, appartenant à une famille modeste et peu instruite.
A l'école où il allait, son maître avait des vues sur une maitresse, et n'avait rien trouvé de mieux pour lui faire la cour que de délaisser sa propre classe, non sans avoir chargé ses ouailles de faire de longs calculs comme par exemple

1+2+3+ ... + 100

C'était bien imaginé mais c'était sans compter sur notre enfant prodige, qui estimant qu'effectuer 99 additions successives était un rien stupide, trouva un moyen de les remplacer par une multiplication.
Pour ce faire il remarqua que s'il regroupait les facteurs de l'addition 2 par 2 astucieusement, il obtenait le même résultat (101) à chacune des 50 petites additions :
(1+100)+ (2+99) + (3+98) + ... + (49+52) + (50+51)

et que donc la grande somme était égale à 50 fois 101, soit 5050.

Pour le cas qui nous intéresse nous, la somme 1+2+3+ ... + 50 se regroupe en
(1+50) + (2+49) + ... + (24+27) + (25+26) = 25 x 51 = 1275.

Il suffit alors de rajouter le 1 que j'avais laissé de côté, et le nombre de régions est égal à 1276.

Question subsidiaire : en regardant de plus près on distingue 2 types de régions : les régions finies, bornées, et les régions qui partent à l'infini. Combien y a-t-il de chacun des deux types dans le cas de 50 droites ?

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Rien à voir mais j'ai reçu un mail aujourd'hui qui m'a stupéfixé.
Venant de l'OFUP.
Je ne sais pas s'il s'adresse à un public d'étudiants et d'enseignants mais ils ont soigné l'orthographe, pas moins de deux fautes hénaurmes.