Je rappelle le problème : Emmanuelle a 3 filles
(son mari aussi et d'ailleurs ce sont les mêmes, la nature est bien faite) mais de garçons, point.
Quelle chance a-t-elle de parvenir à avoir autant de filles que de garçons, en supposant qu'elle ait tout son temps ? Après combien d'accouchements sans douleur
(ou pas) peut-elle espérer atteindre ce but?
Alors Emmanuelle, j'ai une bonne et une mauvaise nouvelle pour toi :
La bonne c'est que tu es certaine d'y arriver si tu disposes d'un temps infini.
La mauvaise c'est qu'en moyenne il te faudra effectivement un temps infini.
Je devine qu'il y en a qui commencent déjà à sentir poindre la migraine alors allez tout de suite prendre une aspirine parce que c'est pas fini.Avant de donner des éclaircissements pas forcément éclairants pour tout le monde, il est temps de donner les noms des gagnants :
Indubitablement
zhom à sosso a bien répondu à la première question.
Les membres du jury, au nombre de 1, ont débattu ensemble et s'accordent à trouver que les plus proches de la bonne réponse à la seconde question sont
Bertrand et
Marianne, ce qui fait trois gagnants en tout mais quand on aime on ne compte pas. Ils peuvent laisser leurs coordonnées quelque part dans ma bal s'ils veulent découvrir leur prix un jour.
(oui je sais cahuette, toi tu attends toujours mais ça te va si bien au teint)La marche de l'homme ivre :
Je ne sous-entends pas qu'Emmanuelle picole mais la problème d'Emmanuelle est identique à celui de l'homme ivre qui titube sur un trottoir, se rapprochant tantôt de la rue tantôt s'en éloignant au gré de ses pas : De même, à chaque enfantement Emmanuelle se sera soit rapprochée de son but (avec un garçon) soit éloignée (avec une fille).
Ce que démontrent les maths sur ce problème c'est que tôt ou tard le but est atteint : Emmanuelle aura autant de garçons que de filles, et l'homme ivre atterrira sur la rue où il se fera écraser. Elles montrent aussi qu'on ne peut espérer une limitation pour le "tôt ou tard", le temps moyen pour parvenir au but n'est pas fini, mais infini.
La théorie des jeux :
Un autre cas de marche au hasard se retrouve dans les jeux de hasard simples : Le joueur a un capital de départ, et mise 1 € à pile ou face : il double sa mise s'il gagne, il perd sa mise s'il perd. A chaque étape il augmente donc son capital de 1 ou bien il le baisse de 1.
Le jeu ne s'arrête que lorsque le joueur est ruiné (plus rien à miser), de la même façon que l'ivrogne arrête de tituber une fois écrasé, et Emmanuelle d'enfanter une fois la parité atteinte.
Même si le joueur est millionnaire au départ il est certain de finir ruiné tôt ou tard. Il aura peut-être passé par milliardaire entretemps mais il finira ruiné.
Au passage un conseil :
ne jouez pas aux jeux de hasard !!!La démonstration est la même dans les 3 exemples et je vous la donnerais si elle n'était pas épouvantablement compliquée.
De toute façon Emmanuelle ne dispose pas d'un temps infini. Même si elle est encore toute jeunette et impressionne en ayant eu 3 filles en 3 ans, on peut estimer qu'elle n'ira probablement pas au delà de 12 enfants.
Je note (3,0) le point de départ avec 3 filles et 0 gars.
A l'étape suivante elle aura soit (3,1) soit (4,0) , chacun avec une probabilité égale à 1/2.
Chaque cas se divise à nouveau en 2 à l'enfant suivant : de (3,1) on passe à (3,2) ou (4,1), tandis que de (4,0) on passe à (4,1) ou (5,0). Chacune des 4 possibilités a pour probabilité 1/4. On remarque qu'il y a deux manières d'arriver à (4,1) qui a donc 2 chances sur 4 d'apparaitre.
On notera donc les possibilités pour 5 enfants ainsi : (3,2) ; (4,1)² ; (5,0)
Remarque : si on ne regroupe pas les couples identiques bien qu'obtenus différemment, l'arbre devient vite abominable. Les petits exposants évitent d'écrire 512 couples (filles, garçons) à la ligne des 12 enfants.

On voit donc qu'Emmanuelle a 1 chance sur 8 (seulement) de parvenir à la parité avec 6 enfants, 3 chances sur 32 au 8e enfant (3/32), 9 chances sur 128 au 10e enfant, et 28 chances sur 512 au 12e.
En additionnant les 4 possibilités de parité jusqu'à 12 enfants, on trouve 0,34375.
En langage clair cela signifie que si Emmanuelle s'accorde la possibilité d'aller jusqu'à 12 enfants mais pas plus, elle a environ une chance sur trois d'atteindre son but.
Et donc deux fois plus de chances de ne pas l'atteindre.
Ce qui ferait réfléchir les plus courageuses...